Voltando às aulas

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Pro Letramento Matemática 7

Fascículo 2 - Operações com Números Naturais

Roteiro de trabalho individual

Durante a próxima quinzena, você vai explorar atividades para ajudar seus alunos a compreenderem e utilizarem corretamente o algoritmo da subtração. Você também vai refletir sobre os conceitos das operações de multiplicação e de divisão, e porque estes conceitos devem preceder os cálculos. Finalmente, você vai explorar o algoritmo da multiplicação e um dos possíveis algoritmos para a divisão.
Leia o texto e faça as atividades. No próximo encontro, você terá a oportunidade de discutir suas reflexões e seus questionamentos no grupo de trabalho.
Parte 1: O Algoritmo da Subtração
Seção 1: Introduzindo o Algoritmo da Subtração
O algoritmo da subtração tem finalidade similar ao da adição, ou seja, sistematizar e facilitar o processo de cálculo. Ele deve ser apresentado quando as crianças já dominarem, com certa segurança, os conceitos associados à subtração, o sistema de numeração, os fatos básicos da subtração e o algoritmo da adição. Novamente chamamos sua atenção para o fato de que a habilidade de utilizar o algoritmo corretamente requer tempo e prática, sendo necessárias diversas experiências preparatórias, variando-se bastante os valores numéricos.
 Para facilitar a discussão das sugestões de atividades, vamos apresentar desde já a nomenclatura associada ao algoritmo da subtração, lembrando que não há sentido em pedir aos alunos que memorizem estes termos. De um modo geral, o uso correto da linguagem matemática não deve ser o foco principal. Os alunos precisam compreender que os termos desta linguagem nos ajudam a conversar, comunicar e defender nossos pensamentos e nossa forma de resolver problemas e cálculos. No entanto, você, professora ou professor, deve utilizar a linguagem matemática corretamente. Deve ainda estimular o debate e o registro, pois essas atitudes farão com que os alunos assimilem, aos poucos, o vocabulário que for relevante a cada momento de sua aprendizagem.

TI 1
Você acha que o algoritmo da subtração ajuda os alunos a efetuarem cálculos como “8–3=” ou “9–4=”? Explique sua resposta.



Seção 2: O algoritmo da subtração e a ação de retirar


○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Ao iniciarmos o algoritmo da subtração, devemos usar, como na adição, materiais de contagem e o QVL. Lembramos que, dentre as ações associadas à subtração, a mais natural para a criança é a de retirar e, por isso, vale a pena iniciar o estudo do algoritmo da subtração usando esta idéia.
Para representar com material concreto a idéia de retirar, a criança deve separar, de seu material de contagem, apenas a quantidade que representa o minuendo. A seguir, ela deve retirar deste grupo de objetos a quantidade que corresponde ao subtraendo. A ação de retirar, da coleção de objetos que representa o minuendo, uma quantidade correspondente ao valor do subtraendo só faz sentido quando trabalhamos com apenas uma mesma coleção de objetos. Retiramos algo daquilo que temos!
Por meio de exemplos, vamos estudar como atividades que exploram a ação de retirar podem ser desenvolvidas concretamente.
Exemplo 1 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Enuncie, oralmente, uma situação–problema envolvendo a ação de retirar. Como exemplo
 vamos retirar 13 de 25. Peça aos alunos que arrumem 25 palitos em um QVL, como na figura
 ao lado. Você pode construir em papel pardo, por exemplo, quadros com apenas duas linhas para que os alunos, ou grupos de alunos, trabalhem independentemente.
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

Diga aos alunos:


- “Agora vamos resolver o nosso problema, ou seja, tirar 13 palitos dos 25 palitos”.
- “Mude para a linha debaixo os palitos que representam a quantidade que você precisa tirar”.
- “Quantos palitos permaneceram na primeira linha?”
- “Na primeira linha fica a quantidade de palitos que sobrou de 25 depois de tirarmos 13 (ou seja, o resto!)”.
Por meio de conversas como a que exemplificamos, mostre às crianças que a quantidade de palitos da segunda linha representa o que foi retirado (subtraendo), e que a quantidade que sobrou na primeira linha é o resultado da operação. Logo: 25–13=12.

Trabalhando com material concreto você pode propor diversas situações. Isto vai ajudar seu aluno a perceber a seqüência de ações que compõe o algoritmo. A representação, no caderno, dos passos realizados com material concreto também é importante para que o aluno, aos poucos, compreenda a relação entre estes passos e o registro formal do algoritmo.
Usando o exemplo anterior, veja como você pode estimular esta associação entre o concreto e a representação escrita.
Após a representação do minuendo:
- “Vamos representar este número no caderno?”
- “Façam um QVL e anotem esta quantidade de palitos”

Após a retirada dos 13 palitos (o subtraendo):
- “Vamos anotar agora, abaixo do número 25, a quantidade de palitos que foi retirada.”


E para finalizar:


- “Agora vamos fazer um traço para separar o resultado final e anotar quantos palitos sobraram depois da retirada.”


Exemplo 2
É possível usar estas idéias em uma subtração na qual é preciso desfazer as dezenas rearrumando o minuendo. Crie uma situação problema para os alunos subtraírem 5 de 32.
Iniciamos por arrumar o minuendo na tabela. Explique aos alunos que eles só possuem 2 unidades não agrupadas e por isso não podem retirar 5 unidades. No entanto, é importante que eles percebam que o número 32 possui trinta e duas unidades, e o que “atrapalha” a realização concreta da retirada é apenas a forma como os objetos estão organizados. Assim, os alunos devem concluir que será preciso desfazer uma das dezenas (que contém 10 unidades). Após desamarrarem uma dezena e a passarem para a casa das unidades, os palitos ficarão com a seguinte disposição



o mesmo (32). A decomposição é que mudou: a forma inicial (3 dezenas e 2 unidades) foi alterada

para: 2 dezenas e doze unidades.
Pergunte aos alunos:
- “O número mudou?” (não) “Então, o que mudou?” (a forma de decompor)
- “Quantas unidades estão agora registradas na primeira ordem?” (12)
- “E agora, podemos tirar 5 unidades de 12 unidades?” (sim)
- “Com quantas unidades ainda ficamos?” (7)
- “Com quantas dezenas ainda ficamos?” (2)
Bem, agora é possível retirar 5 palitos dos que ficaram na ordem das unidades e o material fica
com a disposição mostrada no quadro ao lado Observe que o registro escrito dos passos da operação pode ou não incluir a passagem na qualuma dezena foi desagrupada em 10 unidades.
Varie os materiais de contagem,pois isto ajuda o aluno a compreender o processo sem se fixar no
 material, o que possibilitará a necessária abstração.

TI 2
Para ilustrar o uso de um outro material, vamos subtrair 17 de 35. Faça você as etapas, utilizando o QVL e, por exemplo, o material dourado.

O uso de material concreto facilita bastante a compreensão dos algoritmos e ajuda a consolidar a aprendizagem das características de nosso sistema de numeração. Numa etapa seguinte, você pode propor exemplos nos quais o zero aparece na casa das dezenas, como tirar 25 de 208.  Você poderá verificar como o uso de material concreto ajuda em situações como esta que costuma ser considerada difícil na operação de subtração.

TI 3
Faça você mesmo as etapas da subtração 208–25, usando o QVL e uma representação de material concreto.

Destacamos que a professora ou o professor deve, sempre que possível, conhecer e apresentar
aos alunos mais de um procedimento. Possibilitar ao aluno a chance de experimentar diferentes
ações é fundamental para que ele desenvolva o senso crítico e tenha o direito de escolher a estratégia
com a qual mais se identifica, ou aquela que possibilita compreender melhor o que está
fazendo. Muitas vezes, uma criança com dificuldade de compreender um procedimento ou conceito,
resolve este obstáculo inicial quando é apresentada a outros caminhos ou formas de raciocinar.
Assim, sugerimos que você pesquise sobre como as ações de comparar e completar podem
auxiliar o desenvolvimento de estratégias de cálculo para efetuar uma subtração.

Parte 2: A multiplicação e a divisão


Seção 1: As operações de multiplicação e divisão
Os conceitos ligados à multiplicação, como os de adição, são fundamentais para o desenvolvimento
de muitos outros conceitos aritméticos. Caso não domine o conceito da operação, a criança
conseguirá, no máximo, memorizar os fatos básicos e realizar de forma mecânica o
algoritmo posteriormente. A dificuldade nesta memorização será muito grande e a insegurança
ficará clara diante de um problema: quando ela não for capaz de se decidir sobre qual operação
realizar. Da mesma forma, os conceitos relacionados com a divisão de números naturais desempenharão
um papel decisivo nas aprendizagens de outros tópicos da Matemática, como os
conceitos de números fracionários e decimais.Atividades que levam à formação de um conceito devem ser baseadas em experiências concretas,nas quais os alunos terão oportunidade de construir e, com o tempo, aperfeiçoar e transferir tais conceitos. A professora ou o professor deve proporcionar à criança múltiplas oportunidades de trabalho com material concreto para que ela chegue à representação de seus fatos básicos, compreendendo o significado da operação.

TI 4
A criança, antes mesmo de ter iniciado o estudo das operações de multiplicação e divisão, já pode ter contato com problemas que possam ser resolvidos apenas por adição e subtração, mas que já tragam algumas das idéias necessárias para conceituar as novas operações. Exemplifique uma
 atividade que prepare para a multiplicação e uma que prepare para a divisão.

Seção 2: Ações associadas às operações de multiplicação e divisão

A multiplicação de dois números naturais pode ser trabalhada sob dois enfoques:
a) como adição de parcelas iguais
Por exemplo:
3 x 2 = 2 + 2 + 2

b) como raciocínio combinatório, no qual verificamos quantas possibilidades existem de formar pares com duas coleções Por exemplo:
- “Se um menino tem 2 calças e 3 camisas, de quantas maneiras ele poderá se vestir?”
2 x 3 = 6



Considerando, porém, que o enfoque da multiplicação como adição de parcelas repetidas é mais natural, a professora ou o professor deve inicialmente se prender a experiências deste  tipo.
TI 5
Pesquise em livros didáticos e apresente pelo menos dois exemplos de situações-problema envolvendo o raciocínio combinatório. Para cada um deles, monte um esquema de solução.

A divisão também tem dois enfoques. De início, a criança será levada a explorar apenas a chamada

divisão-repartição, para chegar depois à divisão-comparação ou medida.
a) Divisão repartição:
A ação de repartir se encontra em situações nas quais é conhecido o número de grupos
que deve ser formado com um certo total de objetos, e é preciso determinar a quantidade
de objetos de cada grupo.
Por exemplo:
“12 lápis precisam ser separados em 4 subconjuntos iguais. Quantos lápis haverá em cada
subconjunto?”
b) Divisão comparação ou medida:
Ações que envolvem este tipo de divisão são encontradas em situações nas quais é preciso
saber quantos grupos podemos formar com um certo total de objetos, sendo conhecida a
quantidade que cada grupo deve ter.
Por exemplo:
“12 lápis serão separados em subconjuntos de 3 lápis cada um. Quantos conjuntos serão feitos?”
Em atividades de divisão-repartição, a criança sabe, por exemplo, que deve distribuir os 12 lápis
em 4 caixas ou pelos 4 cantos da mesa. Isto permite a aplicação de uma estratégia simples:
ela pode distribuir 1 lápis de cada vez, até que os lápis se esgotem. Após esta ação ela verifica,
então, quantos lápis ficaram em cada caixa ou canto da mesa. Já na divisão-comparação, a criança
tem os mesmos 12 lápis sobre a carteira e sabe que deve formar grupinhos de 3 lápis. Ela
deverá aplicar outra estratégia: separar seu material de 3 em 3 e verificar, ao final da atividade,
“quantos cabem”, ou seja qual a quantidade de grupos formados.
TI 6
Pesquise em livros–texto e apresente pelo menos dois exemplos de situações– problema envolvendo a divisão-comparação. Para cada um deles, monte um esquema de solução.

Seção 3: Sugestões de Atividades
• A Bota de Muitas Léguas
Material necessário:
Folha com várias retas numéricas e dois conjuntos de cartões numerados (inicialmente use apenas números de 1 a 5 – em um segundo momento, acrescente valores maiores).
Proponha (ou explore um conto):
- “Vamos, agora, brincar com uma bota mágica.”
- “É uma bota imaginária que dá pulos do comprimento que quisermos”.
Peça a um aluno que sorteie um cartão numerado. Este primeiro número sorteado indica o número de pulos que a “bota” dará.
Peça a outro aluno que sorteie um cartão numerado. Este segundo número sorteado indica o comprimento de cada pulo. Inicialmente, desenhe uma “reta” graduada no chão (ou use uma faixa de papel graduada). Um
terceiro aluno, brincando de ter calçado a bota, dará os pulos sobre a “reta”, e a turma verificará
o número no qual ele parou.
Você pode dividir a turma em duas equipes e propor que disputem quem calçou a bota que levou
mais longe.
Por exemplo:



Neste exemplo, ganha a equipe B, cujo representante, partindo do zero chegou ao 8, um número

maior do que 6, que corresponde ao valor atingido pela equipe A partindo do zero.
TI 7
Aplique uma atividade como esta em sua turma e faça um pequeno relato dos resultados.
• Usando a reta numérica e a Bota de Muitas Léguas


a) Primeiro tipo de atividade
Distribua as folhas com as retas numéricas para que os alunos representem os pulos da “bota” utilizando flechas e depois verifiquem em que número a “bota” chegou. (Uma folha pode conter várias retas numéricas, uma para cada jogada). Peça aos alunos que façam o sorteio de dois cartões (ver atividade anterior) e digam para a turma o número de pulos (1o sorteio) e o comprimento do pulo (2o sorteio).
Espere que todos os alunos representem a multiplicação em uma das retas numéricas de suas
folhas e comente com eles os resultados, antes da próxima jogada.
Nas primeiras jogadas, desenhe no quadro-de-giz alguns movimentos da “bota” para orientar
seus alunos. Por exemplo, se o primeiro cartão sorteado for 2 (quantidade de pulos) e o segundo
for 3 (tamanho do pulo), represente e oriente seus alunos a perceberem que: “As flechas dizem
que duas vezes três é igual a seis”.

Você pode aumentar o conjunto de cartões,para introduzir outros fatos básicos, lembrando que as retas devem ser numeradas com todos os resultados possíveis. Por exemplo, se você utilizar cartões numerados até 9, a reta deve ser numerada do zero até 81.

TI 8
Aplique uma atividade como esta em sua turma. Descreva a atividade que você aplicou e faça um pequeno relato dos resultados.
b) Segundo tipo de atividade
Combine com seus alunos uma nova estratégia para o jogo.
Agora, um aluno vai sortear um número, que indicará o comprimento do pulo que a “bota de muitas léguas” pode dar, e você (professora ou professor) dirá um número da reta (múltiplo do número sorteado) onde a “bota” está parada esperando para voltar ao zero (ponto de partida). O jogo é descobrir quantos pulos a “bota” precisa dar. Por exemplo: Um aluno sorteia o número 5 e todos anotam o comprimento do pulo: 5. Então você informa à turma que a “bota” está esperando para voltar, por exemplo, no número 20 (que
 é múltiplo de 5). Os alunos circundam o número 20 na reta e representam os movimentos, agora
em sentido contrário.

TI 9
Aplique uma atividade como esta em sua turma. Descreva a atividade que você aplicou e faça um pequeno relato dos resultados
Quando as crianças já souberem encontrar, sem erro, o número de pulos (de um comprimento

sorteado) necessários para voltar do ponto que você escolher, poderão passar para um novo desafio,
como o da atividade que apresentaremos a seguir:
c) Terceiro tipo de atividade
Desenhe no quadro-de-giz uma das situações representadas na atividade anterior e diga aos alunos
que, agora, flechas em sentido contrário dizem:
- “No comprimento 6 há 2 pulos de comprimento 3”.

Faça outros exemplos e depois repita esta atividade, acrescentando um registro abaixo de cada reta.
Por exemplo:

Comprimento do pulo: 2 (número sorteado) - Número de pulos: 5o comprimento 10 “cabem” 5 pulos de comprimento 2. Aos poucos, você poderá ir substituindo esta frase pelos símbolos matemáticos convenientes, 10 ÷ 2 = 5 ou 10 ÷ 5 = 2.
TI 10
Aplique uma atividade como esta em sua turma. Descreva a atividade que você aplicou e faça um pequeno relato dos resultados.

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